Pulite i carciofi eliminando le foglie esterne più dure. Tagliate la parte superiore con le spine e allargate le foglie del carciofo per togliere il fieno interno. Pareggiate il fondo del carciofo in modo che possa stare in piedi e immergeteli in acqua acidulata per circa 10 minuti. Mettete a bollire per circa 20 minuti le patate pelate con i carciofi e salate con un po' di sale grosso. Nel frattempo tagliate il formaggio pecorino a cubetti e tritate il pomodoro secco. Una volta pronti i carciofi e le patate, scolateli dall'acqua. Schiacciate le patate con una forchetta, aggiungete il formaggio pecorino a cubetti, il pomodoro secco tritato e il formaggio pecorino grattugiato e mischiate il tutto. Sistemate i vostri carciofi su una teglia ricoperta di carta da forno, deponete un po' di ripieno allargando delicatamente le foglie del carciofo e irrorate con un po' di olio. Fate gratinare in forno per circa 10 minuti a 200° e servite.